光学元件是很精密的元件，制作成本较高，如果能减少元件的厚度，甚至做成片状透镜，则不但可以减少光学元件的尺寸，从而缩小灯具或其他设备的大小，还可以节省材料，降低成本。由于厚度减少，光吸收也减少，灯具或仪器效率也会随之提高，因此做成高质量的薄片形的光学零件一直是光学设计追求的目标之一。

　菲涅尔（Fresnel）透镜是一种片状的薄形透镜，它一直以其轻、薄、价格低廉优势而在一些方面得到应用。但市场上的菲涅尔透镜多为等差半径的同心圆结构，其制作缺乏精确的光学设计过程，导致成像质量不是很高，有的甚至只是简单的波纹结构，其光学质量就更差了。即使是较好的菲涅尔透镜，也是通常将普通透镜分为小段后，近似为折线，并经过不同距离的简单平移而形成，这些设计方法上的缺陷造成了菲涅尔透镜的低质量。

　LED体积很小，但市场上销售的LED用杯状透镜大都厚度在10mm以上，这成为LED在某些场合应用的致命问题，虽然可以用菲涅尔透镜来减薄透镜的厚度和减少光吸收，但如何进行精确的光学设计却很少见到文献报道。

　本文介绍的是能获得精确的超薄锯齿形透镜的设计方法，其光学质量好，光线利用率较高。因为一般的菲涅尔透镜在理论上就存在浪费，即透过透镜的光线理论上就有一部分不能到达设计的目的地，本方法得到的透镜对点光源来说理论上不存在浪费。此外，各个小锯齿之间的距离也可根据需要而不同，而且在同一透镜中不同位置的锯齿间距也可变化，从而使这种方法设计的锯齿形透镜有更广泛的适应性，即它可以适应不同的使用条件和不同的加工条件的需求。

　这种锯齿形透镜适用LED为光源的二次光学透镜。对于LED这种尺寸很小的光源，具有小而薄的光学透镜是非常有意义的。

　一、设计原理

　单个透镜一般是一个表面形状为曲面的透明材料，其作用是改变光线的方向，形成所需的光强空间分布。其缺点是往往比较厚，因此体积大成本高，而且吸收也就大，特别是曲率大的透镜更是如此。为简单计，举一个平凸透镜的例子，原始的平凹透镜见图1（a），相应地传统的菲涅尔透镜见图1（b），为了说明原理，图中齿距画得比较大。

　图1 传统菲涅尔透镜的形成原理

　菲涅尔透镜的设计原理其实是用若干小面来代替整个连续的大曲面。图1（c）为传统菲涅尔透镜设计原理。图1（b）的锯齿状菲涅尔透镜的功能和图1（a）的原始透镜相同。传统的设计方法可以用图1（c）表示。实际上图1（b）的菲涅尔透镜可以看成是由图1（a）的透镜删除多个矩形部分，再把剩余部分往下移动成一个片状而成为菲涅尔透镜的。见图1（c），其中台阶状阴影就是被删除的多个矩形组成的部分。

　显然图1（b）这一菲涅尔透镜比透镜（a）要薄，从而吸收小，节省材料。但这种按传统方法设计的透镜只对平行光是正确的，这时（c）中阴影部分对光线是没有影响的。但是若是非平行光，如LED为光源时，（c）中的阴影部分对光线就有影响了。若把它删除制成菲涅尔透镜，就会造成很大的杂散光。此外，若透镜的截面用折线代替小弧线，也会带来光学上的误差。

　为了克服上述缺点，我们提出用两种新的方法来设计菲涅尔透镜。这里我们针对单个LED来设计，对其他光源，设计原理是相同的，因此原则上也可以推广到其他光源。

　新方法的基本思想是让被删除的无效部分的边缘沿着光线划分，而且有效的剩余部分移动时是沿着光线的，同时还按一定比例变化其尺寸，这样光线在透镜中传播时不会打到这些边缘无效部分去，而且还将按原方向折射。这样就使得散射光减少，透镜的光学效率也就提高了。

　二、设计方法

　1、分角度法

图2 分角度法

　我们假定原始透镜的入射面为平面，出射面（图2中AB所在的面）为曲面。至于如何设计原始曲面，则不在本文的涉及范围之内。而新的出射面为我们要设计的锯齿形。

　在本文中，我们可以假定O点为光源经过入射面后的虚拟像点的位置，也就是光线由O点出发经出射面后到达像面（透镜的作用可以不是“成像”而是照明）。这样我们就把入射面的作用包括在内了。我们可以将AB所在的曲面按对O点所张的角度划分成若干小段。图中AB就是其中的一个小段。我们不是按照第一节中那样将这些小段垂直移动下来，而是将其沿光线方向移动，而且移动的同时按线性比例缩放。这样AB就缩放到了A'B'.按照线性光学原理，小面A'B‘所造成的光线折射的方向与小面AB的是完全相同的，只是光线的位置有微小的区别。由于透镜尺寸比像距小得多，而OA与OA’之间的距离差比像距更是个二级小量，因此我们完全可以只关心出射光线的角度设计前后不变而不关心光线位置的微小变化，也就是说变化前后的小面将不对整个透镜的光学效果带来明显的差别，特别对照明用的透镜更是如此。

　此外，角度的划分可以是均等的，也可以是不等的，这两种情况都不影响光学效果。为了说明问题，图2只将透镜分成了8份，实际上分割的数目越大透镜就可以越薄。不过，如下文所说，数目多了会带来新的问题。

　但是可以看到，上述方法一个缺点是透镜的锯齿厚度会不同，这可能会影响透镜的强度。下面提出另一种方法，可以做到锯齿厚度相等，虽然设计过程复杂一些，但它不但可以克服厚度不等的问题，而且消除杂散光。

　2、分厚度法

图3 分厚度法

　图3与图2的原始透镜是相同的，但图3中把原始透镜在厚度方向按相等距离划分成若干份（见图3的水平虚线），再用上小节分角度法中相同的方法把每一小段在沿光线移动的同时线性缩小，形成厚度基本相同的透镜。

　这一方法不但可以得到相同的锯齿深度，从而增加透镜的强度，而且与分角度法相比可以在相同齿数时减少厚度，或在相同厚度时减少锯齿数。由下面的分析可以知道这一结果还可以使得透镜的杂散光减少，从而提高成像质量和光利用效率。

　还应该指出，一般情况入射和出射两个面中只要有一个面做成锯齿面就可以满足设计要求。如果希望入射面做成锯齿面而出射面做成平面，上述析也是一样的。例如可以使外表面是平滑面而内表面是锯齿面，这就可以避免灰尘积累。更重要的是如果锯齿的那一面不是平面而是曲面，其结果是相同的。这样我们就不仅可以做成平片状的菲涅尔透镜，也可以做成其他诸如弧形瓦片状或碗形的菲涅尔透镜了。

　三、杂散光分析

　由下面的分析可知，新方法设计的锯齿透镜不但保留了原有方法的大大减少厚度的优点，而且可以减少由于加工误差引起的杂散光。

　由于在实际加工中，锯齿的尖端和底部不可能做到无限小，而是有一定圆角，这个圆角将会影响光线不能到达应该到达的地方，造成杂散光。图4是单个锯齿杂散光的模拟结果。

图4 单个锯齿杂散光的模拟结果

　而杂散光的多少与加工的精度有关。假定锯齿的平均宽度为d,锯齿尖端的圆角半径为r,并粗略认为在r范围内的光变成了杂散光，光损失的比例为r/d.例如锯齿宽为1mm,加工精度造成有的r为0.05mm,则光损失为5%.这是菲涅尔透镜不得不有的光损失，这也是菲涅尔透镜的缺点。

　但相对于其他方法设计的菲涅尔透镜而言，新方法等厚度法可以相对减少这种损失。其原因是等厚度法与其他方法相比时，在同样厚度的条件下可以有较少的锯齿数目，从而使得平均宽度d更大，r/d相对更小，因此光损失更少。

　进一步分析知道，由于LED光源是在光轴部分的发光强度大，边缘部分小，而分厚度法得到的锯齿恰恰是在中间部分比在边缘部分有更大的齿距（见图3），因此在光强度大的地方损失会少，即总体上可以有更少的光损失。

　图5 两个菲涅尔透镜的实例

　将设计好的截面旋转或拉伸，就可以得到三维的透镜。图5为两个菲涅尔透镜的实例。拉伸得到的（a）可用于条形光斑，旋转得到的（b）可用于圆形光斑。

　本设计方法用将理想的光学表面分割、沿光线方向移动同时缩放的方法，在保持透镜的理想光学性能的同时使得光学损失减少到最少，相对其他方法而言，可以得到更高的效率。本方法对光源尺度很小的LED光源可以得到很好的效果。